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申请/专利权人：电子科技大学

摘要：本发明属于矩阵求解技术领域，具体为一种含矩阵预处理的多右端项矩阵求解方法。本发明先进行MFBIC预处理技术融入，采用for循环单独对每个右端项向量进行预处理，在求解迭代时，将这些预处理后的向量合并为一个矩阵，再按照BGMRES‑DR块迭代算法结合R准则一次输出所有近似解的块矩阵；在块迭代算法不收敛需要重启算法时，采用Krylov子空间扩大技术，消减与其相对应的最小特征值对收敛性造成的不良影响，从而加速收敛。本发明能够快速、准确地计算单站RCS不同激励方向的电磁参数，对多右端项的电磁问题进行有效提升电磁分析与仿真设计，进而为电子器件、飞机、无人机、导弹等实际工程问题的设计提供坚实的基础。

主权项：1.一种含矩阵预处理的多右端项矩阵求解方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤A、将目标结构结合材料、边界条件进行仿真建模；步骤B、结合HDGTD算法，得到一个含多右端项的全局线性系统；对于一个右端项向量y，获得的只与杂交量有关的全局线性系统为： 其中Λ是待求杂交量未知量，矩阵的维数为NΛ×NΛ，y是一个维数为NΛ×1的列向量；对于多个右端项，若有p个激励源，则产生p个右端项向量，构成的右端项矩阵为维数为NΛ×p；将p个右端向量当成一个块向量进行同时处理，为每个右端向量建立一个相对应的Krylov子空间，并将所有的Krylov子空间组合成一个维数更大的子空间，得到块Krylov子空间，然后在此组合的空间内搜索每个右端向量所对应的解向量，此时1式，写为形式： 其中待求的p个激励全局杂交量Λi，i∈{1,2,…,p}，组成了一个待求杂交量的块向量其维数为NΛ×p，则2式为含多右端项的全局线性系统，之后对该系统进行全面求解；步骤C、采用BGMRES-DR块迭代算法，对步骤B获得的含多右端项的全局线性系统，进行整体系统求解；Step1：设BGMRES-DR块迭代算法得到的初始近似解的块向量为那么2式系统矩阵方程的初始块残差为其中Step2：在BGMRES-DR块迭代算法运用块Arnold迭代过程和R准则；设BGMRES-DR块迭代算法外层最大循环次数为maxiter，每次循环中构造的正交基Krylov子空间的维数大小为m；从j＝1,2,…,m进行for循环，得到近似解其中是正交基Krylov子空间，Vj是第j次循环时产生的块正交基矩阵；对进行不完全QR分解后，得到其中V1是一个块正交基矩阵并且列向量为两两正交，χ1是一个列满秩的上三角矩阵；首先，进行块Arnolid迭代过程循环m次，对于第j次迭代，得到块正交基矩阵Vj；块正交基矩阵Vj构成了搜索空间的一组正交基Krylov子空间然后，在搜索空间内搜索使得当前余量块残差范数最小的近似解向量，即其中Yj是最小二乘问题的解，是块状上Hessenberg矩阵，且满足： 采用BGMRES-DR块迭代算法处理后，3式等效为： Yj等效为其中矩阵以及的构造是BGMRES-DR块迭代算法中获得；之后，计算余量块残差并检验其收敛性；如果不收敛，则进行Step3；Step3、通过Krylov子空间扩大技术，求出j＝1时，Step2方法中的初始值，进行算法重启，具体为：①通过Krylov子空间扩大技术，进行历史信息回收，为重启做准备工作；令根据矩阵采用谐和里茨值以及对应的谐和里茨向量来近似特征值与特征向量的估计，获得历史信息以及记： 计算矩阵的特征值，将特征值的模值按照从小到大进行排序，并选出前k个目标特征向量对θs,gs，s＝1,…,k，其中特征向量θs是谐和里茨值，特征向量gs是θs对应的谐和里茨向量，上标H表示共轭转置；将特征向量gs存储为矩阵G＝[g1,…,gk]；若特征向量gs存在复数时，将其拆分为实部和虚部，通过调整预设k的大小，来使复数特征向量的实部和虚部都包含进来；然后，对G增加p行0向量，并与RLSm共同形成一个新的矩阵，此时G的维数为nm+p×k+p，nm是正交基Krylov子空间中基向量总列数；②计算Step2新一轮循环开始时，j＝1需要的部分初始化参数L1、H1、n1和χ1；首先，对①中的G进行不完全QR分解，有G＝QGRG，其中QG的维数为nm+p×k+p，RG的维数为k+p×k+p；然后对QG与RG进行行或者列的拆分，便于计算；求出RG的最后p列的子矩阵，记为求出QG的最后p列的子矩阵，记为QG1＝QG:,k+1:k+p；求出QG的前nm与前k列的子矩阵，记为QG2＝QG1:nm,1:k然后获得下面的矩阵： 由于是一个正交基，基于6式中第一个式子与第二个式子，采用块Arnoldi迭代过程中修正的Gram-Schmidt正交化过程，以求出具体实施过程为：首先，计算点乘，得到： 然后计算临时矩阵tmp的维数为NΛ×p，并将其进行不完全QR分解，得到的Q矩阵为R矩阵为Rv2；其中的维数为NΛ×p，Rv1的维数为k×p，Rv2的维数为p×p；接着，基于6式中第三个式子与第四个式子，结合Rv1与Rv2，可得Step2新一轮循环开始时j＝1需要的部分初始化参数： 由于j＝1时Krylov子空间只有一个基向量矩阵，故正交基Krylov子空间中基向量总列数为n1＝k；由于的维数为k+p×p，则按照行数进行拆分为两个子矩阵，即得到维数为k×p的以及维数为p×p的则： ③计算Step2新一轮循环开始时，j＝1需要的部分初始化参数V2和P1；对新的最小二乘问题采用奇异值SVD分解，计算出最小解令最小解Y1＝minYj，将其代入最小二乘问题中，记其维数为k+p×p；将PR进行SVD分解，获得U矩阵，其维数为k+p×k+p；设整个迭代过程的目标收敛精度为ε，根据右端项矩阵以获得每次迭代精度的阈值： 计算矩阵PR经过SVD分解获得的奇异值矩阵Σ，其值sigma向量优于阈值εR的个数ss；伪代码如下： 计算矩阵U的前ss列，则得到子矩阵U1＝U:,1:ss，维数为k+p×ss；接着，计算U1的最后p行，则得到子矩阵U12＝U1end-p+1:end,1:ss，维数为p×ss；然后对U12进行完全QR分解，即qrU12＝U12QU12R，此时U12的Q矩阵为U12Q，其维数为p×p；由于p≥ss，将U12Q按照列拆分为两个子矩阵，故可得： 根据②获得的结合11式，则可得Step2新一轮循环开始时，j＝1需要的部分初始化参数V2和P1： V2是新的块正交基矩阵，P1是新的正交矩阵，V2的维数为NΛ×ss；④依据②和③，便可得到Step2新一轮循环开始时，j＝1需要的全部初始化参数L1，H1，n1，χ1，V2和P1；将这些初始化参数作为Step2新一轮循环j＝2:m的初值，此时当j＝2时，正交基Krylov子空间为且中基向量总列数为n2＝n1+ss＝k+ss；Step4：基于Step3重启获得的j＝1初始化参数，实施Step2新一轮j＝2,…,m的循环；Step5：根据Step4获得近似解然后计算余量块残差并检验其收敛性，如果不收敛，则返回循环执行Step2直至其收敛；至此实现BGMRES-DR块迭代算法，从而有效求解含多右端项的全局线性系统。

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