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申请/专利权人：苏州科技大学

摘要：本发明涉及一种变幅圆锥杆弯曲振动固有频率的模拟计算方法，包括：基于铁木辛柯梁原理构建变截面铁木辛柯梁振动的理论模型，使用傅里叶级数与辅助函数构建欧拉‑贝努利梁的挠度函数；根据所述挠度函数，使用拉格朗日函数极小化得到系数满足条件的线性方程组，将线性方程组的解作为不同边界条件下圆锥形欧拉‑贝努利梁的各阶固有频率；根据所述不同边界条件下圆锥形欧拉‑贝努利梁的各阶固有频率得到变幅圆锥杆弯曲振动的固有频率。本发明可以提高计算效率、计算过程收敛迅速、计算结果精确度高。

主权项：1.一种变幅圆锥杆弯曲振动固有频率的模拟计算方法，其特征在于，包括以下步骤：S1：基于铁木辛柯梁原理构建变截面铁木辛柯梁振动的理论模型，具体为：S1-1：构建长度为L、梁左端圆形横截面直径为D0、梁右端圆形横截面直径为D1的铁木辛柯梁，梁的横截面面积Ax和对中性轴的惯性矩Ix为： 其中，x是沿轴向x的变化参数，参数是反映截面半径变化的截面系数；S1-2：对无量纲频率Ω做如下处理： 其中，I0表示梁端部截面惯性矩的较大者，A0表示梁端部截面面积的较大者，ω是材料的固有频率，ρ是材料密度，E是材料的剪切模量；S1-3：引入无量纲的扭转约束弹簧刚度kTi和横向位移约束弹簧刚度kRi： 其中i＝1表示梁左侧，i＝2表示梁右侧；KR1代表x＝0边界上的扭转约束弹簧刚度，KR2代表x＝L边界上的扭转约束弹簧刚度，KT1代表x＝0边界上的横向位移约束弹簧刚度，KT2代表x＝L边界上的横向位移约束弹簧刚度；S1-4：基于铁木辛柯梁理论，构建变截面铁木辛柯梁自由振动的微分方程： 其中，ρx为梁的密度，Ax为梁的横截面面积，t表示时间，wx,t为挠度随坐标x和时间t变化的函数，κ为与截面形状有关的系数，Gx为剪切模量，ψx,t为梁横截面的转角，Ix为横截面的惯性矩，Ex为材料的弹性模量；S1-5：使用欧拉-贝努利梁理论，令变截面欧拉-贝努利梁忽略剪切模量的影响合并式4与式5，得到变截面欧拉-贝努利梁振动的理论模型为： S2：在所述变截面铁木辛柯梁振动的理论模型下，使用傅里叶级数与辅助函数构建欧拉-贝努利梁的挠度函数；S3：根据所述挠度函数，使用拉格朗日函数极小化得到系数满足条件的线性方程组，将线性方程组的解作为不同边界条件下圆锥形欧拉-贝努利梁的各阶固有频率；具体为：S3-1：获取欧拉-贝努利梁结构的边界弹簧势能V弹簧，获取欧拉-贝努利梁的弯曲势能V弯曲；S3-2：构建欧拉-贝努利梁动能的表达式T；S3-3：使用V弹簧、V弯曲和T构建欧拉-贝努利梁结构的拉格朗日函数LT：LT＝V弹簧+V弯曲-T13；S3-4：令LT取得极小值，对未知的傅里叶系数Bm求偏导为零： 得到欧拉-贝努利梁结构振动的矩阵形式为：K-ω2MB＝015；其中，K为刚度矩阵，M为质量矩阵，B为未知傅里叶展开系数向量，B具体为：B＝B-4,B-3,B-2,B-1，...，Bm，...，Bm116；S3-5：当式15有非零解时，欧拉-贝努利梁结构振动的矩阵系数行列式为零，此时对应的标准矩阵特征值问题为：|K-ω2M|＝020；将式20作为求解固有频率的多项式方程，求解多项式方程得到所述不同边界条件下圆锥形欧拉-贝努利梁的各阶固有频率；S4：根据所述不同边界条件下圆锥形欧拉-贝努利梁的各阶固有频率得到变幅圆锥杆弯曲振动的固有频率，具体为：S4-1：建立铁木辛柯梁的基本控制方程： 其中，E为材料的弹性模量，I为常横截面的惯性矩，A为梁的常横截面面积，G为材料的剪切模量，ρ为材料密度，t表示时间，wx,t为挠度随坐标x和时间t变化的函数，κ为与截面形状有关的系数；S4-2：取梁两端自由超声变幅杆作为对象，此时的挠度随坐标x和时间t变化的函数wx,t为简谐函数： 其中，挠度随坐标x变化的函数在欧拉-贝努利梁理论下，根据式6得到： 其中，ωE为基于欧拉-贝努利梁理论的截面梁弯曲振动的固有频率；在铁木辛柯梁理论下，将代入式21得到： 其中，ωT为基于铁木辛柯梁理论弯曲振动的梁固有频率；S4-3：将代入式24，忽略式24中含有微小系数IG的项得到： 将式25与式23相减得到： S4-4：当梁截面为圆形截面时，代入式26得到： 其中，ωTi是第i阶的ωT，ωEi是第i阶的ωE；S4-5：圆锥超声杆的直径D为两端截面直径D1和D2的平均值，根据D＝D1+D22得到铁木辛柯梁理论下与欧拉-贝努利梁理论下两种固有频率之间的变换式，根据所述铁木辛柯梁理论下与欧拉-贝努利梁理论下两种固有频率之间的变换式得到所述变幅圆锥杆弯曲振动的固有频率。

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