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申请/专利权人：北京邮电大学;成都信息工程大学

摘要：本发明设计了一种量子典型相关性分析方法。该方法将典型主成分分解问题转化为矩阵乘积的特征值分解问题。考虑到高维变量矩阵乘积及特征值分解的困难性，方法首先将问题涉及的两组变量转化为约化密度矩阵,并基于相位估计、受控旋转、测量等量子操作设计了密度矩阵乘积操作来实现变量矩阵乘积操作。最后，设计了量子特征值分解方法实现了典型主成分的提取。相比经典典型相关性分析方法，本发明在数据维度上实现了指数级加速，为进一步实现量子分类、回归等算法奠定了基础。

主权项：1.一种量子典型相关性分析方法，实现两组变量的相关性分析，其特征在于，包括：典型相关性分析的两组变量为X和Y，为两组变量的组合矩阵，a1和b1为使两组变量X和Y具有最大相关性的投影主轴，采用拉格朗日乘子法将典型相关性分析转化为求解矩阵S1和S2中最大广义特征值对应的特征向量即求解其中对应于最大广义特征值；采用量子密度矩阵乘积法求解特征向量的基本步骤如下：1采用约化密度矩阵构建组合矩阵S1和S2的量子态；首先，采用幅度编码构建组合矩阵对应的量子态|φM，|φM的密度矩阵为ρM＝|φMφM|，对ρM的第2个寄存器求偏迹得到S1对应的量子态其中，和矩阵M的归一化奇异值，和为对应的左奇异向量；其次，为X和Y的另一个组合矩阵，采用幅度编码构建Z的量子态|φZ，|φZ的密度矩阵为ρZ＝|φZφZ|，对ρZ的第2个寄存器求偏迹得到S'2对应的量子态其中，和为Z的归一化奇异值，和为对应的左奇异向量；根据S2＝S'2-S1，则S2的量子态对应于2采用相位估计等操作构建对应于矩阵的量子态|δ3；准备量子态|0a|φMb,c为输入；寄存器a存储预测的特征值，寄存器b和c存储状态|φM；设κ为条件数，特征值阈值μ＝12κ，可以进一步描述为 其中，为密度矩阵的特征值按降序排列，为对应的特征向量；以|0a|φmb,c为输入，通过模拟系统执行相位估计，得到状态 经过该操作，寄存器a中存储了的特征值计算矩阵S1的逆矩阵；根据矩阵求拟的性质，求解需要提取寄存器a中的特征值并将其转化为到量子态的幅度；为了降低计算复杂度，求解过程只选取满足条件的特征值；添加初值为|0的辅助寄存器d，执行受寄存器a控制的旋转操作于寄存器d，得到状态 其中，执行逆相位估计作用于寄存器a,b和c，得到状态 寄存器a没有被直接丢弃，其将用于步骤3的计算；|δ3可以进一步写成 其中，|G1为d寄存器为|0的垃圾态；不考虑垃圾态|G1，|δ3关于寄存器c和d的约化密度矩阵正比于矩阵3通过量子线性系统运算及偏迹操作，构建表示矩阵的量子态ρ2；在执行乘法操作之前，采用标准Suzuki-Trotter方法模拟哈密顿演化其中首先，将演化时间t分为n个时间片Δt，然后，应用哈密顿演化和构建最后，通过重复n次哈密顿演化得到|δ3表示为特征值分解形式其中r2是的特征值中满足的数量，是的特征向量；设|δ3j为寄存器c采用标准计算基时|δ3的第j个元素，为|δ3j在特征向量子空间中的投影；采用量子态|δ3为输入，通过模拟系统执行相位估计，得到状态 其中，寄存器a被重复利用，这里用于存储的特征值|G2为与|δ4中第1项正交的垃圾态；添加初态为|0的辅助寄存器e,执行受寄存器a控制的旋转操作于辅助寄存器e，得到状态 其中，|G3表示寄存器d和e不为|11的垃圾态；采用状态|1|1测量寄存器d和e，执行逆相位估计并丢掉寄存器a，得到状态其中，|δ6相当于与|δ3对应的向量内积；为了进一步得到对应的量子态，对|δ6的寄存器c求偏迹，得到约化密度矩阵其正比于矩阵4对量子态ρ2执行特征值分解，得到对应于的量子态首先，添加初态为|0的辅助寄存器f，以为输入，通过模拟系统在状态执行相位估计，得到状态其中，是ρ2的特征值，是对应的特征向量，rs是密度矩阵ρ2的秩；最后，通过量子态采样操作得到对应于ρ2最大特征值的特征向量其正比于5执行量子线性系统算法HHL，构建典型主轴对应的量子态根据首先，以为输入，通过模拟执行相位估计操作，随后，执行旋转角度为的受控旋转操作，其中最后，通过逆相位估计得到输出状态其正比于主轴

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百度查询： 北京邮电大学 成都信息工程大学 一种量子典型相关性分析方法