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申请/专利权人：中国科学院光电技术研究所

摘要：本发明公开了一种基于反正切函数逼近近似L0范数的压缩感知图像重构方法。使用了一种基于反正切函数的数学模型，在算法的迭代求解过程中通过收缩模型参数实现了从凸优化向近似L0范数非凸优化的逼近，并且根据重构误差项自适应地去调节目标损失函数中的各项权重。本发明提出的方法使得在压缩感知图像重构求解过程中我们的算法以更高的效率和更大的概率去逼近全局最优并且尽可能稀疏的解，相对于传统算法，本发明方法在相对较短的时间内有效地提升了压缩感知图像重构的精度和质量。从而在保证信号重构稀疏度的同时达到更加精确重构原始信号的目的。本发明中的方法在压缩感知图像重建中在相对更短的时间内重建出了更高精度的图像。

主权项：1.一种基于反正切函数逼近近似L0范数的压缩感知图像重构方法，其特征是：该方法能够应用于信号的采集与恢复、图像处理和计算机视觉方向，在重建原始信号时以更大的概率和更高的效率去逼近全局最优并且尽可能稀疏的解，由此在更短的时间内重建出更高质量和更高精度的图像，该方法包括如下步骤：步骤1、在压缩感知图像重构算法中，为了充分利用凸优化算法和非凸优化算法各自的优点，实现从凸优化向L0范数非凸优化的逼近，设计一种反正切的数学模型，用以模拟信号稀疏系数的范数表示；其中，在压缩感知的采样过程中，首先定义一个原始信号x，x∈Cn，x乘以大小为m×n的测量矩阵Φ得到测量信号y，y∈Cm，mn，于是就有以下信号测量模型：y＝Φx+e，1e为高斯白噪声，y是通过测量矩阵获得的原始信号x的非完备线性测量；原始信号的恢复过程相当于信号测量的逆过程，根据信号测量值y恢复出原始信号x，由于，由于y的维数远远小于信号x的维数，必须解一个欠定方程，由于求解欠定方程通常是非常困难的，原始信号x必须是稀疏的或者能够进行稀疏表示，离散信号的稀疏性通常用信号的L0范数加以表示，||x||0表示x中非零元素的个数，原始信号x的零范数可以作为1式的正则项，因此，可以获得以下表达： 其中，ε是非负的正常数，为误差上界，表示重构信号和真实信号的逼近误差；如果原始信号x是非稀疏的，必须对信号x进行稀疏表示，使用稀疏变换正交基或者冗余字典Ψ对x进行稀疏表示，Ψ＝[ψ1,ψ2,ψ3,...,ψn]，从而有： 其中，s＝[s1,s2,s3,...,sn]T，s为信号x在稀疏基Ψ上的稀疏表示系数，[]T为转置运算符，如果s中大部分系数为零或者接近于零，则说明信号x能够进行稀疏表示，这样的信号能够进行很好的压缩，为了求解稀疏表示s，可以得到3式的一种全新表达形式： 其中，为稀疏系数向量s的求解值，得到原始信号的解为由于求解4式中的最小L0范数通常非常困难，通常是一个NP难问题，因此最小L0范数问题通常被规避，由此通常使用最小L1范数来替代L0范数，得到如下所示更新4式后的等式： 公式5是一个二次约束线性问题；基于以上对凸优化算法和非凸优化算法的描述，充分考虑和利用这两种方式的优越性，为了实现向L0范数的逼近，通常使用最小Lp范数的方式，因此更新5式为： 对于稀疏向量s，提出一种新的数学模型用来替代s的Lp范数，这个新的数学模型表示为： 其中，si为稀疏向量s的第i个元素，i∈[1,n]，σ为调节逼近L0范数程度的模型参数，以上7式为反正切函数模型，根据fσsi与σ以及si之间的关系曲线，模型参数σ能够调节曲线的曲率，当σ的值非常小的时候，fσsi的曲线非常近似L0范数的分布，随着σ值的增大，fσsi接近L1范数的分布，逐渐减少σ的值能够间接地实现对Lp范数中的p值的动态收缩，当σ的值非常小的时候，能够得到下列的近似表达式： 步骤2、在这个反正切函数模型中设置一个调节参数，通过对这个模型参数的收缩，实现算法从凸优化向L0范数非凸优化的近似逼近；对fσsi进行累加和，可以得到： 其中，n是稀疏信号s的长度，当σ非常小的时候，Fσs近似等价于||s||0，可以表示s中非零元素的个数，6式可以被更新为： 步骤3、使用这个反正切函数数学模型项和信号重构误差项构造目标损失函数，通过对这两项的同时最小化，目标损失函数为： 其中，Ls为需要最小化的目标损失函数，s稀疏信号向量，λ为权重参数，Φ为测量矩阵，Ψ为稀疏基，y为测量信号，σ为模型参数，Fσs和两项分别保证重建信号的稀疏度和重构信号的精度；同时在迭代过程中，根据重构误差自适应地去调节目标函数中两项的权重，从而达到更加精确重构信号的目的；目标损失函数是通过拉格朗日方式加入作为最小项，将10式限制性优化问题转换为非限制性优化问题，因此得到所述的目标损失函数：由11式可知，在算法迭代的开始阶段，当σ较大时，目标函数11近似相当于凸优化过程，所得到的解已经大概率地落入全局最优解的附近，局部最优以及所得解的不稳定性风险已经被降低，随着σ收缩到更小，Fσs逐渐地逼近光滑的L0范数，从而求解更加稀疏的解，通过收缩σ值让新型目标函数11以更大的概率和更高的效率逼近全局最优并且尽可能稀疏的解；由于fσsi的逼近曲线是光滑可导的，因此相对于最小L0范数和L1范数，更加容易求得Fσs的微分形式，由此得到目标损失函数Ls在s处的梯度表达式为： 在求解损失函数的过程中，σ的收缩使得Fσs更加接近L0范数，这时项的误差值也随之减小，为了获取更加精确的稀疏表示向量s，采取的方式是在迭代过程中逐渐增加项的权重，这样Fσs的权重就相应下降，这样就能更加精确地求解出原始信号，λ可以设置成一个和的值成正比的相应递减序列，通过这种方式λ可以根据的值进行自适应的调节，于是λ可以表示为：λ＝0.1||Θs-y||∞.13步骤4、使用梯度投影的方式对上述目标函数进行最小化求解，在梯度投影算法的迭代过程中，不断收缩模型参数的值，从而实现向近似L0范数算法的逼近，最后重构出原始信号；其中，采用梯度投影的方式对近似逼近L0范数的目标损失函数11进行求解，梯度投影的具体实现步骤为：1输入：传感矩阵Θ＝ΦΨ，测量值向量y；2初始化：迭代次数k，k＝0，s初始化为s0，s0＝Θ⊥y，Θ⊥为Θ的伪逆，Θ⊥＝ΘTΘ-1ΘT，模型参数σ的收缩序列，σ＝[σ0,σ1,σ2,...,σk]＝[σ0,βσ0,β2σ0,...,βkσ0]，λ0＝0.1||Θs0-y||∞，初始迭代步长μ0， 如果δkTAδk＝0，μk＝1；3梯度投影的第k次迭代：·σ＝σk，·梯度下降方向 ·在梯度方向对s进行更新sk＝s+μkδk，·约束正交投影sk＝sk-Θ⊥Θsk-y，15·4如果算法收敛并且满足终止条件： 停止迭代，ξ为迭代终止参数，为s的最终解，否者，k＝k+1，返回步骤3直到满足终止条件；最后，重构原始信号的值为其中，通过提出一种反正切函数的数学模型，通过设置模型参数来调节反正切函数的曲率，从而实现近似地表达稀疏信号的范数形式；提出的目标函数包括反正切数学模型项和信号重构误差项，这两项分别保证了重构信号的稀疏度和信号重构的精度；在迭代求解的过程中，把反正切函数模型项的权重参数设置为与信号重构误差项成正比的值，通过这种方式实现了对目标损失函数中两项权重的自适应调节，从而在保证重构信号稀疏度的同时提高信号重构的精度；使用梯度投影的方式对目标函数进行最小化，在算法迭代过程中，通过不断收缩反正切函数模型中的调节参数，间接地实现算法从凸优化向近似L0范数非凸优化的迭代逼近，从而巧妙地避开了最小L1范数在零点处不解析的问题；通过提出反正切函数模型的方式来实现向近似L0范数的迭代逼近，在算法迭代的开始阶段算法倾向于凸优化求解，这样在开始是就能使所求得的以更大的概率落在全局最优解的附近，提高了算法求解全局最优值的效率；然后通过不断收缩模型参数来实现向非凸优化的L0范数逼近，这个过程是逐渐求解最稀疏解的过程；因此通过以上方式该方法就能以更大的概率和更高的效率去逼近全局最优并且尽可能稀疏的解，从而实现了在更短的时间内重构出更高精度的原始信号或者图像。

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百度查询： 中国科学院光电技术研究所 基于反正切函数逼近近似L0范数的压缩感知图像重构方法