申请/专利权人：广西师范大学

申请日：2024-03-15

公开（公告）日：2024-06-28

公开（公告）号：CN118260989A

主分类号：G06F30/23

分类号：G06F30/23;G06F30/28;G06F113/08;G06F119/14

优先权：

专利状态码：在审-公开

法律状态：2024.06.28#公开

摘要：本发明公开了一种基于虚点的优化有限差分各向同性的数值方法，其特征在于，包括如下步骤：（1）在网格模板中增加虚拟节点；（2）求解虚拟节点的函数值；（3）构造有限差分模板；（4）求解组合系数并得到新的数值方法；（5）数值分析和数值模拟验证新方法。这种方法有效地解决提高有限差分各向同性的同时保持较高的计算精度，进一步扩展了该数值方法在实际工程中的应用能力。

主权项：1.一种基于虚点的优化有限差分各向同性的数值方法，其特征在于，包括如下步骤：1在网格模板中增加虚拟节点：有限差分方法利用有限区域内的相邻节点来计算差分项，假设在5×5网格域内，计算中心点的水平导数时能选择7个方向的有限差分格式，分别是水平方向A-A′，两个对角线方向C-C′和D-D′以及四个斜方向E-E′～H-H′，其中E-E′和F-F′是离水平方近的两个方向，G-G′和H-H′是离水平方向远的两个方向，此外还有一个无法选择的垂直方向B-B′，过去的有限差分格式使用了水平方向的9-FD和使用了水平方向和两个对角线方向组合的17-ITFD，5×5网格域内还有四个斜方向E-E′～H-H′的网格点没有被引入到有限差分组合格式中，引入斜方向网格点的问题在于A-A′～D-D′的每个方向上都包含5个网格点，A-A′～D-D′方向上构造的是四阶精度的五点中心差分，而E-E′～H-H′的每个方向都只包含2个网格点，在E-E′～H-H′方向只能构成二阶精度的三点中心差分，将E-E′～H-H′方向的三点中心差分直接与A-A′～D-D′方向的五点中心差分组合会降低组合格式的精度，为了提高斜方向上有限差分的精度，要在E-E′～H-H′方向上增加虚点，并将这些虚点视为实点，就能够在E-E′～H-H′方向上构建出四阶精度的五点中心差分；2求解虚拟节点的函数值：每个虚点都位于两个网格点的中点，采用四点拉格朗日插值法，以虚点周围的四个网格点计算虚点上的函数值，假设E-E′方向和G-G′方向上的两个虚点拉格朗日插值写为：fxe＝-f1,-1+9f1,0+9f1,1-f1,216，1和fxg′＝-f-2,-1+9f-1,-1+9f0,-1-f1,-1162在四个斜方向上各增加两个虚点，就能在四个斜方向上构建五点中心差分，f′E-E'x＝[2f-2,-1-2f2,1+f-1,-2-f1,2+f-1,1-f1,-1+9f1,0-f-1,0+f1,1-f-1,-1]24h，f′F-F'x＝[2f-2,1-2f2,-1+f-1,2-f1,-2+f-1,-1-f1,1+9f1,0-f-1,0+f1,-1-f-1,1]24h，f′G-G'x＝[2f-1,-2-2f1,2+f-2,-1-f2,1+f1,-1-f-1,1+9f0,1-f0,-1+f1,1-f-1,-1]24h，f′H-H'x＝[2f-1,2-2f1,-2+f-2,1-f2,-1+f1,1-f-1,-1+9f0,-1-f0,1+f1,-1-f-1,1]24h3，由于计算虚点的拉格朗日插值具有四阶精度，而五点中心差分是将网格点和虚点进行线性组合并且也是四阶精度，因此斜方向的五点中心差分也具有四阶精度；3构造有限差分模板：利用步骤2得到的虚点函数值和斜方向的五点中心差分，在5×5网格域上构建有限差分组合方案，假设计算水平方向的导数，根据网格的对称性在5×5网格域上构造出8种有限差分模板，假设为只有水平方向A-A′的模板a，A-A′与C-C′和D-D′方向组合的模板b，A-A′与E-E′和F-F′方向组合的模板c，A-A′与G-G-和H-H-方向组合的模板d，A-A′与E-E′～H-H′方向组合的模板e，A-A′与C-C′～F-F′方向组合的模板f，A-A′与C-C′和D-D′与G-G′和H-H′方向组合的模板g，A-A′与C-C′～H-H′方向组合的模板h；4求解组合系数并得到新的数值方法：采用前导误差项分析的求解系数方法：有限差分格式的数值各项异性来源于误差项的方向偏差，将最低阶误差项转换为各向同性的能提高有限差分格式的各向同性，其中最低阶误差项又称前导误差项，以水平方向上的导数为例，对于四阶精度的有限差分，各向同性有限差分格式的Taylor展开为： 其中A是任意常数，对计算中心点的水平导数时能选择的7个方向的五点中心差分进行泰勒展开至Oh6，并将对称的有限差分方向两两组合： 对比公式4～8，得到在各向同性方案中A＝-130；将公式5～8分别乘上系数相加组合，组合后的格式需要满足各向同性前导误差项，得到等式为：fI′x＝waf′A-A'x+wc[f′C-C'x+f′D-D'x]+we[f′E-E'x+f′F-F'x]+wg[fG′G'x+fH′H'x]9根据泰勒展开式将公式9写成矩阵形式： 由于公式10左侧第一个矩阵的第二行与第三行不成倍数关系，与公式10等号右侧矩阵冲突，模板d、e、g和h都无法构造出相应的各向同性有限差分格式，对于剩下的模板，系数关系写成：模板b： 模板c： 模板f： 对于模板f，公式13有无数个解，无法得出一个通用的有限差分模板；求解式11和12得到模板b和c对应的各向同性有限差分格式的系数：wa:wc＝8:1和wa:we＝1:2；模板b和c在求梯度算子时分别使用了17和21个网格点，将模板b和c分别命名为17-LEFD和21-LEFD；将模板b和c的系数归一化后得到17-LEFD和21-LEFD离散水平导数的格式，写为：17-LEFD： 21-LEFD： 重复步骤1到步骤4，得到17-LEFD和21-LEFD离散垂直方向导数的格式为：17-LEFD： 21-LEFD： 5数值分析和数值模拟验证新方法：将步骤4得到的17-LEFD和21-LEFD与现有技术9-FD和17-ITFD进行数值分析比较，比较出21-LEFD是各向同性最佳的方法，21-LEFD比现有技术的各向同性误差低了两个数量级，再使用21-LEFD数值模拟多相流现象和合金凝固现象，抑制了多相流模拟中由数值方法带来的虚速度，降低了合金凝固模拟中凝固前沿的生长方向偏差，提高了数值模拟的准确性。

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