申请/专利权人：重庆大学

申请日：2023-11-29

公开（公告）日：2024-06-21

公开（公告）号：CN117574511B

主分类号：G06F30/13

分类号：G06F30/13;G06F30/17;G06F30/23;G06F17/11;G06F17/14;G06F119/14;G06F111/10

优先权：

专利状态码：有效-授权

法律状态：2024.06.21#授权;2024.03.08#实质审查的生效;2024.02.20#公开

摘要：本发明公开了一种用有限梁类比无限粘弹性地基梁的方法，涉及轨道模型评估领域，包括以下步骤：S1：利用格林函数，推导出粘弹性基础上无限梁在移动简谐荷载下的动态响应的封闭解；S2：用模态叠加法推导出类似有限梁的封闭解；S3：利用有限元方法验证无限梁和有限梁理论推导的正确性；S4：对封闭解的正确性进行了数值验证。本发明采用上述的一种用有限梁类比无限粘弹性地基梁的方法，利用留数定理和格林函数，给出了位于粘弹性基础上的UIC无限地基梁在移动简谐荷载下的封闭解，用模态叠加法给出了类似有限梁的封闭解，用有限元法验证了两种解析解的准确性；基于解析解进行参数分析，得到能用有限梁模拟UIC无限地基梁的最接近跨长。

主权项：1.一种用有限梁类比无限粘弹性地基梁的方法，其特征在于：包括以下步骤：S1：利用格林函数，推导出无限粘弹性地基梁在移动简谐荷载下的动态响应的封闭解；在步骤S1中，简谐荷载在无限梁上以速度v移动，粘弹性地基单位长度的刚度和阻尼系数分别由k和c表示，通过力学模型模拟的无限地基梁，梁在t时刻的x截面的运动方程为： 其中，ux,t表示梁为y方向的位移，E为弹性模量，I为惯性矩，m为单位长度的质量；对于温克勒基础，k为刚度，c为粘性阻尼系数，Fx,t为简谐荷载，表示为：Fx,t＝P0expiΩtδx-vt2 时，P0和Ω分别表示外部荷载的振幅和频率，δ·为狄拉克函数；利用Delta函数的属性，函数fx表示为： 对函数fx,t进行傅里叶变换及其逆变换： 以及运用傅里叶变换的以下性质：F[fnt]＝iωnF[ft]6基于格林函数的定义，引入格林函数Gx,t,x0,t0，式1中的偏微分方程转化为： 其中Fδx,t；x0,t0表示单位源函数，Fδx,t；x0,t0＝δx-x0δt-t08其中x0和t0分别表示源函数的空间坐标和时间坐标；对式7进行二重傅里叶变换得， 其中，是格林函数Gx,t,x0,t0的傅里叶变换，是格林函数Fδξ,ω；x0,t0的傅里叶变换，对式8进行二重傅里叶变换得到： 将式10代入到式9中，得到格林函数在频域内的解： 通过对式11进行二重傅里叶逆变换，得到格林函数在时域内的解： 对于外部荷载Fx,t，式1的解通过对格林函数在全域内积分得到位移响应： 将式12代入式13得： 其中分别代表相对刚度、阻尼和质量；狄拉克函数的傅里叶变换和逆变换表示为： 利用式15、16及Delta函数的性质式3,位移响应式14进一步表示为 由式可知，式17是一个复数函数,为了便于分析，解只考虑实数部分，利用留数定理求解式17之前，首先求解分母特征方程的根即： 根据代数基本定理，特征方程18包含实根、虚根和复数根；实根存在性条件，实根设为ξ＝ξ0，ξ0≠0，，ξ0∈R，将其代入式18得 式19实部和虚部应满足以下方程组： 式20a求解为：用式21代入到式20a得到：式22证明实根存在的条件无效，因此式18不存在实根；虚根的存在性条件：将参数和虚根ξ＝iξ1，ξ1≠0,ξ1∈R，代入式18中，得到式23， 下面的方程组适用于式23为有效的情况： 首先求解式24b得：将式25代入式24a得到式26： 当式26存在一个解时，虚根才会存在，Ω≠0时，粘弹性地基上无限梁在移动简谐荷载作用下的计算结果表明式19只存在复数根；复数根的存在性条件：复数根表示为ξ＝ξa+iξb，ξa,ξb≠0，ξa,ξb∈R，将代入式18令实部和虚部等于零，得到以下方程： 利用MATLAB平台中内置的留数功能得到复数根的分布，其中两个位于实轴Reξ的上半平面，而另外两个位于下半平面，且不存在重根；为了求解式17的位移响应，使用留数定理，它包含两个部分：一个是移动荷载前，x-vt≥0，梁的位移响应，另一个是移动荷载后，x-vt＜0，梁的位移响应；x-vt≥0时，位移响应ux,t表示为： 其中Im·表示复变量ξ的虚部，res{·}为括号内留数的计算，式28中包含两个术语，第一项Imξ＞0表示与位于ξ上半平面中与复数根相关的位移，第二项Imξ＝0表示位于实轴上与实根相关的位移，特征方程19在复平面中ξ中当Ω≠0时仅包含四个一阶极点且没有重根，实根已被证明不存在，因此当x-vt≥0，式28一阶极点的留数为： 通过联立式28和29，x-vt≥0时无限梁位移响应ux,t为： 对于x-vt＜0时，位移响应ux,t通过类似的方法求得，仅需考虑位于ξ下半平面上的复数根，即Imξ＜0，位移响应ux,t表示为： 所有的情况都得到了对应的解，移动简谐荷载产生的波沿梁向两个相反的方向传播，并且在弹性基础上的移动荷载两侧的位移曲线是对称的；S2：用模态叠加法推导出类似有限梁的封闭解；在步骤S2中，寻找最适合有限梁跨度，以模拟无限梁的位移响应，利用模态叠加的方法，有限简支梁的位移ux,t近似表示为：其中qb,nt为广义模态坐标，将式32代入式1中，等式两边分别乘以sinnπxL，并关于x从0到L进行积分，得到模态方程式33： 其中ωb,n为粘弹性基础上梁的第n个无阻尼频率，εn为阻尼比； 利用三角函数关系，式33重新表示为： 其中，ωdl,n和ωdr,n分别为有限梁左、右移频率，ωdl,n＝Ω-nπvL，ωdr,n＝Ω+nπvL；在式35解中包括稳态响应和瞬态响应，稳态响应由外部荷载所引起，瞬态响应由初始条件，所决定，梁的位移响应ux,t表示为：ux,t＝Sb,nx,t+Tb,nx,t36其中，Sb,nx,t和Tb,nx,t分别为稳态响应和瞬态响应；经过求解，梁位移稳态响应Sb,nx,t表示为： 其系数为：式中，Wn为由施加的静力荷载所引起的位移，ηr,n和ηl,n为与频率相关的系数； 式中，βln和βrn为两个频移成分与第n个有限梁固有频率的比值，βln＝ωdl,nωbn，βrn＝ωdr,nωbn；根据阻尼比εn大小，瞬态响应分为以下三种情况：0＜εn＜1时， 其中，ωD,n表示梁的第n个阻尼频率，表示为εn＝1时 εn＞1时 有限梁稳态响应式37中包含两个频移成分：ωdl,n＝Ω-nπvL，ωdr,n＝Ω+nπvL，和固有频率ωb,n，根据式30和31得，无限梁中仅存在一阶固有频率；S3：利用有限元方法验证无限梁和有限梁理论推导的正确性；S4：对解的正确性进行数值验证。

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