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申请/专利权人：北京工商大学

摘要：一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法，属于数字几何处理和计算机图形学领域。首先，初始化输入的网格，重构网格缺失区域的连接关系；然后，根据这个初始的连接关系，建立基于L1数据项和内二面角补角正则项的网格修补模型；最后，利用增值拉格拉日方法AugmentedLagrangianMethod迭代求解网格的顶点位置，从而得到重建的保特征的网格。该发明提出的基于内二面角补角正则化的网格修补方法，与现有方法相比，在保持网格曲面上折痕、角点、刺点、尖点等尖锐特征方面具有明显优势，在网格修补上有广泛的应用前景。

主权项：1.一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法，其特征在于：对输入的残缺网格进行初始化，重构网格缺失区域的连接关系；用L1数据项来减小内二面角补角正则项对网格缺失信息的依赖，然后通过内二面角补角正则化寻找最优的顶点位置；针对输入的网格，全局地考虑网格信息；最后，利用增值拉格拉日方法AugmentedLagrangianMethod迭代求解网格的顶点位置，从而得到重建的保持尖锐特征的网格；网格均由三角面片表示，具体步骤如下：步骤一：对输入网格进行预处理，重构网格缺失区域的连接关系，得到具有完整连接关系的初始网格；其中，输入网格，记为M0，初始网格记为M，对输入网格的预处理，具体为：输入网格是残缺网格M0，对该残缺网格采用文献1中第4节提出的基于最小权重的三角剖分方法进行孔洞区域的三角剖分，重构网格缺失区域，即孔洞区域的连接关系，输出具有完整连接关系的初始网格M；文献1：Liepa,Peter.Fillingholesinmeshes，Proceedingsofthe2003EurographicsACMSIGGRAPHsymposiumonGeometryprocessing，EurographicsAssociation,2003；步骤二、根据步骤一获取的具有完整连接关系的初始网格M，建立基于L1数据项和内二面角补角正则项的网格修补的能量函数：记输入的残缺网格M0的顶点集合为其中，m是输入网格M0中的顶点个数；初始网格M的顶点集合为v＝{v1,v2,...,vn}，边集合为e＝{e1,e2,...,ed}，边长度集合为l＝{l1,l2,...,ld}，内二面角集合为θ＝{θ1,θ2,...,θd}，其中，n是初始网格M中的顶点个数，且n＞m；d是初始网格M中边的个数，边集合e中的边ei的长度即为长度集合l中的li，内面角集合θ中的角度θi表示共享边ei的两个三角面片间的内二面角；保持初始网格M中已知顶点位置在网格修补处理之后能够靠近原始位置，通过内二面角正则化约束来保持网格特征，同时可以通过最小化式1的能量函数得到最优的网格的顶点位置； 其中，是求满足λEfv,v0+Erl,θ最小的顶点位置，即v；Efv,v0为数据项，Erl,θ为正则项；λ是数据项参数，数据项用来保持网格原有的特征，并减小内二面角正则化对缺失顶点信息的依赖；步骤2.1，计算数据项，具体通过如下公式2计算： 其中，vi代表初始网格的顶点集合v＝{v1,v2,...,vn}中第i项；代表输入的残缺网格的顶点集合中第i项；||Fv-v0||1表示Fv-v0的L1正则化；F表示m×n的投影矩阵，定义如3： 步骤2.2，计算正则项,具体通过公式4计算： 其中，li代表初始网格中边ei的边长，即边长度集合l＝{l1,l2,...,ld}中第i项；θi表示共享边ei的两个三角面片间的内二面角，π-θi指的是该内二面角的补角；简化二面角结构的两个半平面为Δv1v3v4和Δv1v2v3，这两个半平面的共享边为v1v3，对应第三个顶点分别为v2和v4；定义T1,T2是两个长度为||v1v3||的向量,T1是面Δv1v3v4的内法向，T2是面Δv1v2v3的外法向，T1和T2之间的夹角为π-θ,那么||v1v3|||π-θ|就是向量T1和T2之间所夹弧的弧长；基于三角面片的边和夹角计算法向量公式如下5： 其中，cot是反余切函数，等于余弦除以正弦函数；θ4,1,3是边v1v4和边v1v3的夹角，θ1,3,4是边v1v3和边v3v4的夹角，θ2,3,1是边v2v3和边v1v3的夹角，θ3,1,2是边v1v2和边v1v3的夹角；根据T1,T2,求得弧长，也就是liπ-θi，表示为： 其中，所以，正则项具体计算如下7式： 其中，K1代表公式6中矩阵||K1v||1表示K1v的L1正则化；结合公式2和7，网格修补的能量函数1可以写成如下公式8： 其中，是求满足λ||Fv-v0||1+||K1v||1最小的顶点位置，即v；步骤三、应用增值拉格拉日方法求解步骤二的网格修补的能量函数，具体为：步骤3.1，求解方程8转化为如下公式9求解带约束的优化问题： 其中，z＝Fv-v0，p＝K1v，||z||1表示z的L1正则化，||p||1表示p的L1正则化；是求满足λ||z||1+||p||1最小的z，p；则根据增值拉格拉日方法可以将上述9式约束问题转为求解如下公式10的泛函鞍点问题： 其中，λz与λp是拉格拉日乘子；＜λz,z-Fv-v0＞表示λz和z-Fv-v0的内积，＜λp,p-K1v＞表示λp和p-K1v的内积；表示z-Fv-v0的L2正则化，表示p-K1v的L2正则化；rz，rp是惩罚因子，并且rz＞0，rp＞0；则优化问题转化为如下公式11的鞍点问题： 其中，是求满足变分方程Lv,z,p；λz,λp最小的v，z，p；步骤3.2，求解优化问题11；具体将问题11转化为依次求解3个子问题，然后迭代更新拉格拉日乘子，通过如下子步骤实现：步骤3.2A固定p,z，求解v，即求解v子问题，v子问题可以转化如下公式12的二次方程形式： 其中，是求满足最小的v；该公式12可以转化为线性方程求解；步骤3.2B固定v,p，求解z，即求解z子问题，z子问题可以转化为如下公式13形式： 其中，是求满足最小的z；该公式13可以分解并且有如下公式14的封闭形式解： 其中，是取0和中的最大值；步骤3.2C固定v,z，求解p，即求解p子问题，p子问题可以转化为如下公式15形式： 其中，是求满足最小的p；则类似13，该公式15有如下公式16的封闭形式解： 其中，是取0和的最大值；步骤3.3，更新拉格拉日乘子，其中第l+1次的迭代与第l次的关系如下17： 步骤3.4，迭代求解；令初值依次迭代求解方程12，13，15，更新拉格拉日乘子17，直到满足终止条件；其中，终止条件为：假设连续两次迭代，如l,l+1次迭代，控制顶点的距离记为当ε小于给定的阈值ε0时，迭代停止。

全文数据：一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法技术领域[0001]本发明涉及一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法，属于数字几何处理和计算机图形学领域。背景技术[0002]三维物体表面重建广泛应用于城市重建、文物修复、医学图像处理、影视游戏等。然而在重建的过程中，会有很多因素引起三维模型表面部分信息丢失，从而导致重建后的网格存在孔洞，如测量工具和测量技术的限制、测量过程中出现物体遮挡情况及原始数据预处理过程不规范等。这些孔洞的存在会影响后续三维模型的分析、编辑等一系列操作，使其受限制于三维打印、形状检索、虚拟现实等应用。因此，网格修补工作至关重要。[0003]对于一般较平滑的孔洞，现有方法已经可以较好的修复。但是对于带有尖锐特征的孔洞，现有方法往往不能令人满意。而网格的尖锐特征包括折痕、角点、刺点、尖点等。现有的网格修补算法大致分为两类:基于体素的网格修补算法和基于曲面的网格修补算法。[0004]基于体素的网格修补算法首先将待修补的网格曲面转换成体素表示形式，然后利用不同的方法在体素空间内进行网格修补。该类方法的不足在于网格曲面和体素空间的相互转换会破坏原始网格的连通性，丢失网格模型的细节特征，甚至当处理的网格模型过于复杂时，可能会产生错误的拓扑结构。[0005]基于曲面的网格修补算法一般是检测孔洞区域，然后直接针对孔洞区域进行网格修补，又大致可以分为三类。（1基于插值的网格修补算法:插值网格可以用简单的多项式函数，三角B样条或径向基函数生成，并且通常具有平滑和连续的边界。但是该方法只适用于类似圆盘的孔洞，不适合修补带有沟、岛等复杂的孔洞。（2基于三角剖分的网格修补算法:找到由孔洞边界定义的缺失区域，直接对多边形孔洞进行三角剖分得到初始网格，然后采用不同的方法优化网格以提高其与周围形状的公平性和一致性。该方法可以快速的实现网格修补，但是难以精确恢复孔洞区域的细节特征（3基于模板exemplar-based的网格修补算法:根据相似性度量规则，在残缺的模型中寻找与待修补孔洞特征相似的局部网格，用找到的相似局部网格修补孔洞。或者是搜索在线的三维模型库，寻找相似的网格模型。然而该类方法的时间复杂度往往较高，难以做到对复杂网格的高效修补，并且如果网格的缺失区域是独一无二的，则可能得到扭曲甚至错误的修补结果。[0006]针对现有方法的不足，本发明提出了一种保持尖锐特征的网格修补方法，即用Ll数据项来减小内二面角补角正则项对网格缺失信息的依赖。首先对输入的残缺网格进行初始化，重构网格缺失区域的连接关系，然后通过内二面角补角正则化寻找最优的缺失顶点位置，最后，重建一个新的完整的网格。该方法提出如何用内二面角补角进行保特征的网格修补，针对输入的残缺网格，全局地考虑网格信息而不仅仅只是针对缺失区域，因此可以在完成网格修补的同时实现保持网格的尖锐特征。发明内容[0007]本发明的目的是克服现有网格修补技术中存在的不能有效保持尖锐特征以及优化算法复杂性的问题，提出了一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法。[0008]本发明的核心思想为:对输入的残缺网格进行初始化，重构网格缺失区域的连接关系；用Ll数据项来减小内二面角补角正则项对网格缺失信息的依赖，然后通过内二面角补角正则化寻找最优的顶点位置;针对输入的网格，全局地考虑网格信息；首先，初始化输入的网格，重构网格缺失区域的连接关系;然后，根据这个初始的连接关系，建立基于Ll数据项和内二面角补角正则项的网格修补模型；最后，利用增值拉格拉日方法AugmentedLagrangianMethod迭代求解网格的顶点位置，从而得到重建的保特征的网格。[0009]本发明中提到的网格均由三角面片表示。[0010]一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法，具体步骤如下：[0011]步骤一:对输入网格进行预处理，重构网格缺失区域的连接关系，得到具有完整连接关系的初始网格；[0012]其中，输入网格，记为MO，初始网格记为M，对输入网格的预处理，具体为：[0013]输入网格是残缺网格对该残缺网格采用文献1中第4节提出的基于最小权重的三角剖分方法进行孔洞区域的三角剖分，重构网格缺失区域，即孔洞区域的连接关系，输出具有完整连接关系的初始网格M;[0014]文南犬1:Liepa，Peter·Fi11ingholesinmeshes，Proceedingsofthe2003EurographicsACMSIGGRAPHsymposiumonGeometryprocessing,EurographicsAssociation，2003·[0015]步骤二、根据步骤一获取的具有完整连接关系的初始网格M，建立基于LI数据项和内二面角补角正则项的网格修补的能量函数：[0016]记输入的残缺网格M°的顶点集合为沪爿求心…^:^其中❿是输入网格…中的顶点个数;初始网格M的顶点集合为V={vi，V2,...，Vn}，边集合为e={ei，e2,...，ed}，边长度集合为1={h，l2,...，ld}，内二面角集合为Θ=W1J2,...，0d}，其中，n是初始网格M中的顶点个数，且nm;d是初始网格M中边的个数，边集合e中的边ei的长度即为长度集合1中的h，内面角集合Θ中的角度01表示共享边ei的两个三角面片间的内二面角；[0017]保持初始网格M中已知顶点位置在网格修补处理之后尽可能靠近原始位置，通过内二面角正则化约束来保持网格特征，同时可以通过最小化如下[0018]1式的能量函数得到最优的网格的顶点位置；[0019]1[0020]是求满足AEfV，vQ+Er1，Θ最小的顶点位置，即V;EfV，为数据项，Er1，θ为正则项;λ是数据项参数，数据项用来保持网格原有的特征，并减小内二面角正则化对缺失顶点信息的依赖；[0021]步骤2.1，计算数据项，具体通过如下公式⑵计算：[0022]2[0023]其中，Vi代表初始网格的顶点集合，V={vi,V2,...，νη}中第i项;vf代表输入的残缺网格的顶点集合中第i项；I|Fv-vQ||ι表示Fv-Vq的Ll正则化;F表示mXn的投影矩阵，定义如3:[0024]3[0025]步骤2.2，计算正则项，具体通过公式⑷计算：[0026]4[0027]其中，Ii代表初始网格中边ei的边长，即边长度集合1={h，l2,...，ld}中第i项；0i表示共享边的两个三角面片间的内二面角，（Ji-S1指的是该内二面角的补角;简化二面角结构的两个半平面为AV1V3V4和AV1V2V3,这两个半平面的共享边为V1V3,对应第三个顶点分别为V2和V4;定义Tl,T2是两个长度为IIV1V3II的向量,Tl是面Aviv3v4的内法向，T2是面AV1V2V3的外法向，Ti和T2之间的夹角为π-θ,那么I|V1V3|I|π-θ|就是向量Tl和T2之间所夹弧的弧长;基于三角面片的边和夹角计算法向量公式如下5:[0028]5[0029]其中，cot代表反余切函数，等于余弦函数除以正弦函数;θ41,3是边V1V4和边V1V3的夹角，91,3,4是边¥1¥3和边¥3¥4的夹角，02,3,1是边¥2¥3和边¥1¥3的夹角，03,1,2是边¥1¥2和边¥1¥3的夹角;根据T1,T2,求得弧长，也就是I1JI-Q1，表示为⑹：石：[0030][0031][0032]所以，正则项具体计算如下⑺式：[0033][0034]L表示Kiv的Ll正则化；[0035]结合公式⑵和7，网格修补的能量函数⑴可以写成如下公式⑻：[0036]8[0037]是求满足最小的顶点位置，即V;[0038]步骤三、应用增值拉格拉日方法求解步骤二的网格修补的能量函数，具体为：[0039]步骤3.1，求解方程⑻转化为如下公式⑼求解带约束的优化问题：[0040].9[0041]表示Z的LI正则化，I|p|I1表示P的LI正则化；是求满足λ|Izl|1+|IpII1最小的z，p;[0042]贝帳据增值拉格拉日方法可以将上述9中的约束问题转为求解如下公式（10的泛函鞍点问题：[0043]_[0044]其中，λ#λρ是拉格拉日乘子；表示λ·ζ_Fv-Vq的内积，表示λρ和ρ-Κιν的内积；表示z-Fv-Vq的L2正则化，IlK1V咱表示p-Kn^^L2正则化;rz，rP是惩罚因子，并且rz0，rP0;则优化问题转化为如下公式（11的鞍点问题：[0045]11[0046]是求满足变分方程1^，24;人2，\1最小的¥，24;[0047]步骤3.2,求解优化问题（11;具体将问题（11转化为依次求解3个子问题，然后迭代更新拉格拉日乘子，通过如下子步骤实现：[0048]步骤3.2A固定p，z，求解V，即求解问题，题可以转化如下公式（12的二次方程形式：[0051]该子问题可以转化为线性方程求解；[0052]步骤3.2Β固定V，ρ，求解ζ，即求解ζ子问题，ζ子问题可以转化为如下公式（13形式：[0056][0055]问题13可以分解并且有如下公式14的封闭形式解：[0057][0058]步骤3.2C固定V，z，求解p，即求解p子问题，p子问题可以转化为如下公式（15形式：最小的P;[0061]则类似13，（15公式所问题有如下公式16的封闭形式解：[0059][0060][0064]步骤3.3,更新拉格拉日乘子，其中第1+1次的迭代与第1次的关系如下（17:[0062][0063][0065]17[0066]步骤3.4,迭代求解；[0067]令初值依次迭代求解方程12，（13，（15，更新拉格拉日乘子17，直到满足终止条件；[0068]其中，终止条件为：假设连续两次迭代，如1，1+1次迭代，控制顶点的距离记为,当ε小于给定的阈值时，迭代停止。[0069]有益效果[0070]本发明提出了一种基于内二面角正则化的网格修补方法，与现有网格修补方法相比，具有如下有益效果：[0071]1.本发明所提方法在在修补过程中，在保持网格折痕、角点、刺点、尖点等尖锐特征方面，具有明显优势；[0072]2.本发明所提方法在数字娱乐，虚拟现实和工业制造等领域具有广泛的应用前景。附图说明[0073]图1是本发明一种基于内二面角补角的网格修补方法的框架图；[0074]图2是本发明一种基于内二面角补角的网格修补方法及实施例1中网格二面角补角示意图；[0075]图3是本发明一种基于内二面角补角的网格修补方法及实施例1中的算法图。具体实施方式[0076]下面结合附图及实施例对本发明所提方法进行详细说明。[0077]如图1所示，是本发明一种基于内二面角补角的网格修补方法及本实施例1的算法框架图。[0078]由图1可以看出，本发明针对输入残缺网格进行如下步骤：[0079]步骤A、重构网格孔洞的连接关系；[0080]利用基于最小权重的三角剖分方法对输入的残缺网格进行孔洞区域的三角剖分，重构孔洞区域的连接关系，得到具有完整连接关系的初始网格；[0081]步骤B、基于具有完整连接关系的网格，建立基于Ll数据项和内二面角补角正则项的网格修补的能量函数；[0082]记输入的残缺网格Mt3的的顶点集合为，其中，m是输入网格Mt3中的顶点个数;初始网格M的顶点集合为V={vi，V2,...，Vn}，边集合为e={ei，e2,...，ed}，边长度集合为1={li，l2,...，ld}，内二面角集合为θ={θι，θ2,...，9d}，其中，nnm是初始网格M中的顶点个数，d是初始网格M中边的个数，边集合e中的边ei的长度即为长度集合1中的h，内面角集合Θ中的角度01表示共享边ei的两个三角面片间的内二面角;保持初始网格M中已知顶点位置在网格修补处理之后尽可能靠近原始位置，通过内二面角正则化约束来保持网格特征，同时可以通过优化如下能量函数得到最优的网格的顶点位置；[0083][0084]是求满足XEfV，Vt3+Er1，Θ最小的顶点位置，即V;EfV，VQ为数据项，ErM为正则项;λ是数据项参数，数据项用来保持网格原有的特征，并减小内二面角正则化对缺失顶点信息的依赖；[0085]步骤Β.1，计算数据项，计算网格修补后的新的顶点与输入网格中对应顶点之间的距离；本发明用计算得到的新的顶点Fv逼近其对应顶点ν'因此数据项由计算得到；[0086]其中，Vi代表初始网格的顶点集合，V={vi，V2,...，νη}中第i项;_vf代表输入的残缺网格的顶点集合中第i项；I|Fv-vQ||ι表示Fv-Vq的Ll正则化;F是mXn的投影矩阵，定义如下：[0087][0088]步骤B.2,计算正则项，利用二面角约束来保持网格特征，因此正则项表示为：[0089][0090]其中，Ii代表初始网格中边ei的边长，即边长度集合1={h，l2,...，ld}中第i项；0i表示共享边ei的两个三角面片间的内二面角，（Ji-S1指的是该内二面角的补角;简化二面角结构的两个半平面为AV1V3V4和AV1V2V3,这两个半平面的共享边为V1V3,对应第三个顶点分别为V2和V4;定义Tl,T2是两个长度为IIV1V3II的向量,Tl是面Aviv3v4的内法向，T2是面AV1V2V3的外法向，Ti和T2之间的夹角为π-θ,那么I|V1V3|I|π-θ|就是向量Tl和T2之间所夹弧的弧长;基于三角面片的边和夹角计算法向量公式如下：[0091][0095]所以，正则项具体计算如下：[0092]其中，θ4,1,3是边V1V4和边V1V3的夹角，01,3,4是边V1V3和边V3V4的夹角，92,3,1是边¥2¥3和边¥1¥3的夹角，03,1,2是边¥1¥2和边¥1¥3的夹角;根据1'1，12，求得弧长，也就是]^-9^，表示为：[0093][0094][0096][0097]其中，I|K1VII1表示Kiv的LI正则化；[0098][0099][0100]其中是求满足最小的顶点位置，即V;[0101]步骤C、应用增值拉格拉日方法求解能量函数得到最优的顶点位置；[0102]步骤C.1，将方程转化为如下带约束的优化问题：[0103][0104]表示Z的LI正则化，I|p|I1表示P的LI正则化；是求满足λ|Izl|1+|IpII1最小的z，p;[0105]则根据增值拉格拉日方法可以将上述约束问题转为求解如下泛函鞍点问题：[0106][0107]其中，λ#λρ是拉格拉日乘子；表示λ·ζ_Fv-vQ的内积，表示λρ和ρ-Kiv的内积：表示Z-Fv-vQ的L2正则化，表示p-Kn^]L2正则化;rz，rP是惩罚因子，并且rz0，rP0;则优化问题转化为如下鞍点问题：[0108][0109]是求满足变分方程1^，2，口;入2，\1最小的¥，2，口；[0110]步骤C.2，求解优化问题将其转化为依次求解3个子问题，然后迭代更新拉格拉日乘子，3个子问题分别如下：[0111]•固定p，z，求解V，即求解V子问题，V子问题可以转化如下二次方程形式：[0112][0113]是求满足[0114]该问题可以转化为线性方程求解；[0115]•固定v，p，求解z，即求解z子问题，z子问题可以转化为如下形式：[0116][0117]是求满足;最小的z;[0118]该问题可以分解并且有如下封闭形式解：[0119]其中是取0和中的最大值；[0120]•固定V，z，求解p，即求解p子问题，p子问题可以转化为如下形式：最小的P;[0123]则类似地，该问题有如下封闭形式解：[0121][0122][0124]的最大值；[0125]步骤C.3,更新拉格拉日乘子，其中第1+1次的迭代与第1次的关系如下：[0126][0127][0128]步骤C.4,迭代求解；[0129]令初值依次迭代求解方程[0130][0131][0132][0133]更新拉格拉日乘子直到满足终止条件，见图3算法图。[0134]以上所述为本发明的较佳实施例而已，本发明不应该局限于该实施例和附图所公开的内容。凡是不脱离本发明所公开的精神下完成的等效或修改，都落入本发明保护的范围。

权利要求：1.一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法，其特征在于:核心思想为:对输入的残缺网格进行初始化，重构网格缺失区域的连接关系；用Ll数据项来减小内二面角补角正则项对网格缺失信息的依赖，然后通过内二面角补角正则化寻找最优的顶点位置;针对输入的网格，全局地考虑网格信息;首先，初始化输入的网格，重构网格缺失区域的连接关系；然后，根据这个初始的连接关系，建立基于LI数据项和内二面角补角正则项的网格修补模型；最后，利用增值拉格拉日方法AugmentedLagrangianMethod迭代求解网格的顶点位置，从而得到重建的保特征的网格；本申请中提到的网格均由三角面片表示；一种基于内二面角补角正则化的网格修补方法，具体步骤如下：步骤一:对输入网格进行预处理，重构网格缺失区域的连接关系，得到具有完整连接关系的初始网格；其中，输入网格，记为M*3,初始网格记为M，对输入网格的预处理，具体为：输入网格是残缺网格M*3,对该残缺网格采用文献1中第4节提出的基于最小权重的三角剖分方法进行孔洞区域的三角剖分，重构网格缺失区域，即孔洞区域的连接关系，输出具有完整连接关系的初始网格M;文南犬1:Liepa，Peter·Fi11ingholesinmeshes，Proceedingsofthe2003EurographicsACMSIGGRAPHsymposiumonGeometryprocessing,EurographicsAssociation，2003·步骤二、根据步骤一获取的具有完整连接关系的初始网格M，建立基于LI数据项和内二面角补角正则项的网格修补的能量函数：记输入的残缺网格Mt3的顶点集合为，其中，m是输入网格Mt3中的顶点个数;初始网格M的顶点集合为V={vi，V2,...，Vn}，边集合为e={ei，e2,...，ed}，边长度集合为1={h，l2,...，ld}，内二面角集合为θ={θιθ%...，0d}，其中，n是初始网格M中的顶点个数，且nm;d是初始网格M中边的个数，边集合e中的边ei的长度即为长度集合1中的Ii，内面角集合Θ中的角度1表示共享边ei的两个三角面片间的内二面角；保持初始网格M中已知顶点位置在网格修补处理之后尽可能靠近原始位置，通过内二面角正则化约束来保持网格特征，同时可以通过最小化（1式的能量函数得到最优的网格的顶点位置；Cl其中，是求满足AEfV，Vt3+Er1，Θ最小的顶点位置，g卩V;EfV，为数据项，Er1，Θ为正则项;λ是数据项参数，数据项用来保持网格原有的特征，并减小内二面角正则化对缺失顶点信息的依赖；步骤2.1，计筧数据烦，具体通过如下公式⑵计算：⑵其中，Vi代表初始网格的顶点集合，V=|vi，V2,...，Vn}中第i项；代表输入的残缺网格的顶点集合，中第i项；I|Fv-vQ|Ii表示Fv-Vq的Ll正则化;F表示mXn的投影矩阵，定义如3:3步骤2.2，计算正则项，具体通过公式⑷计算：4其中，h代表初始网格中边ei的边长，即边长度集合1=...，ld}中第i项；Qi表示共享边ei的两个三角面片间的内二面角，（Ji-S1指的是该内二面角的补角;简化二面角结构的两个半平面为AV1V3V4和AV1V2V3,这两个半平面的共享边为V1V3,对应第三个顶点分别为V2和V4;定义Tl，T2是两个长度为IIV1V3II的向量,Tl是面ΔV1V3V4的内法向，T2是面AV1V2V3的外法向，Tl和T2之间的夹角为π-θ，那么IIV1V3|IIJT-ΘI就是向量Tl和T2之间所夹弧的弧长;基于三角面片的边和夹角计算法向量公式如下5:5其中，COt是反余切函数，等于余弦除以正弦函数；044,3是边V1V4和边V1V3的夹角，0^3,4是边¥1¥3和边¥3¥4的夹角，02,3,1是边¥2¥3和边¥1¥3的夹角，03,1,2是边¥1¥2和边¥1¥3的夹角;根据Tl,T2,求得弧长，也就是Iiπ-θί，表不为：6其中，所以，正则项具体计算如下⑺式：7其中，K1代表公式⑹中矩阵IK1VII1表示K1V的Ll正则化；结合公式⑵和7，网格修补的能量函数⑴可以写成如下公式⑻：8其中，是求满足λ|IFv-Vt3I|1+||K1V|I1最小的顶点位置，gpv;步骤三、应用增值拉格拉日方法求解步骤二的网格修补的能量函数，具体为：步骤3.1，求解方程⑻转化为如下公式⑼求解带约束的优化问题：9其中，z=Fv-vQ，p=Kiv，I|ζ||ι表示z的Li正贝批，I|p||ι表示p的Li正贝批；是求满足λ||z||1+||p|I1最小的z，p;则根据增值拉格拉日方法可以将上述⑼式约束问题转为求解如下公式（10的泛函鞍点问题：10其中，\2与\[是拉格拉日乘子;表示λ^Ρζ-Fv-Vq的内积，表示λρ和ρ-Κιν的内积；表示Z-Fv-vQ的L2正则化，表示ρ_Κιν的L2正则化;rz，rP是惩罚因子，并且rz0，rP0;则优化问题转化为如下公式（11的鞍点问题：11其中：1是求满足变分方程Lν，ζ，ρ;λζ，λρ最小的V，z，p;步骤3.2,求解优化问题（11;具体将问题（11转化为依次求解3个子问题，然后迭代更新拉格拉日乘子，通过如下子步骤实现：步骤3.2A固定p，z，求解V，即求解¥子问题，7子问题可以转化如下公式（12的二次方程形式：其中，是求满足最小的V;该问题可以转化为线性方程求解；步骤3.2B固定v，p，求解z，即求解z子问题，z子问题可以转化为如下公式（13形式：C13其中，是求满足最小的Z;问题（13可以分解并且有如下公式14的封闭形式解：U4其中是取〇和I中的最大值；步骤3.2C固定v，z，求解p，即求解p子问题，p子问题可以转化为如下公式15形式：⑸其中是求满足'最小的P;则类似13，该问题有如下公式16的封闭形式解：16其中，是取〇求_的最大值；步骤3.3,更新拉格拉日乘子，其中第1+1次的迭代与第1次的关系如下（17:17步骤3.4,迭代求解；令初值，依次迭代求解方程（12，（13，（15，更新拉格拉日乘子17，直到满足终止条件；其中，终止条件为：假设连续两次迭代，如1，1+1次迭代，控制顶点的距离记为,当ε小于给定的阈值时，迭代停止。

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